武汉大学真题 第20668题
📝 题目
9．（20 分）设 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 是向量空间 $V$ 的子空间，且有 $V=V_{1} \oplus V_{2}$（即 $V$ 是 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的直和），若定义映射：
$$
\begin{aligned}
f_{1}: \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} & \mapsto \alpha_{1} \\
f_{2}: \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} & \mapsto \alpha_{2}
\end{aligned} \text {, 其中 } \alpha \in V, \alpha_{1} \in V_{1}, \alpha_{2} \in V_{2} \text {, }
$$
证明：（1）$f_{1}, f_{2}$ 是 $V$ 的线性变换；
（2）$f_{1}^{2}=f_{1}, \quad f_{2}^{2}=f_{2}$ ；
（3）$f_{1} f_{2}=f_{2} f_{1}=0$（零变换）；
$$
f_{1}+f_{2}=i d_{V} \text { ( } V \text { 的恒等变换). }
$$
💡 答案解析
9．证（1）由 $V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，知，可取 $V_{1}$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{r}, V_{2}$ 的一组基 $\varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，而 $\varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{r}, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 组成 $V$ 的一组基。对 $\forall \alpha_{1}, \alpha_{2} \in V$ ，则
$$
\alpha_{1}=\sum_{i=1}^{n} k_{1 i} \varepsilon_{i}, \alpha_{2}=\sum_{i=1}^{n} k_{2 i} \varepsilon_{i}
$$
从而 $f_{1}\left(\alpha_{1}\right)=\sum_{i=1}^{r} k_{1 i} \alpha_{i}, f_{1}\left(\alpha_{1}\right)=\sum_{i=1}^{r} k_{2 i} \alpha_{i}$ ，即
$$
f_{1}\left(m \alpha_{1}+n \alpha_{2}\right)=f_{1}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(m k_{1 i}+n k_{2 i}\right) \varepsilon_{i}\right)=\sum_{i=1}^{r}\left(m k_{1 i}+n k_{2 i}\right) \varepsilon_{i}=m f_{1}\left(\alpha_{1}\right)+n f_{1}\left(\alpha_{2}\right),
$$
则 $f_{1}$ 为线性变换，同样，$f_{2}$ 也为线性变换．
（2）对 $\alpha=\sum_{i=1}^{n} k_{i} \varepsilon_{i} \in V$ ，由
$$
f_{1}^{2}(\alpha)=f_{1}\left(f_{1}(\alpha)\right)=f_{1}\left(\sum_{i=1}^{r} k_{i} \varepsilon_{i}\right)=\sum_{i=1}^{r} k_{i} \varepsilon_{i}=f_{1}(\alpha),
$$
知 $f_{1}^{2}=f_{1}$ ，同样 $f_{2}^{2}=f_{2}$
（3）$f_{1} f_{2}(\alpha)=f_{1}\left(\sum_{i=r+1}^{n} k_{i} \varepsilon_{i}\right)=0$ ，同样，$f_{2} f_{1}=0$ ，也即 $f_{1} f_{2}=f_{2} f_{1}=0$ 。
$$
\left(f_{1}+f_{2}\right)(\alpha)=f_{1}(\alpha)+f_{2}(\alpha)=\sum_{i=1}^{r} k_{i} \varepsilon_{i}+\sum_{i=r+1}^{n} k_{i} \varepsilon_{i}=\sum_{i=1}^{n} k_{i} \varepsilon_{i} \text {, 即 } f_{1}+f_{2}=i d_{V} \text {. }
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：取V₁基和V₂基合成V的基，验证f₁,f₂保持线性运算；通过作用基向量证明幂等、互为零、和为恒等。
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