武汉大学真题 第20667题
📝 题目
8．（15 分）设 $\alpha=\left(a_{1}, \cdots, a_{n}\right)$ 是 $n(n \geq 2)$ 维非零向量。证明：$\alpha^{T} \alpha$ 可相似于一对角矩阵，并求此对角矩阵。
💡 答案解析
8．证 记 $A=\alpha^{T} \alpha$ ，不妨设 $r(A)=r$ ，则
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A^{2}=\alpha^{T} \alpha \alpha^{T} \alpha=\alpha^{T}\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right) \alpha=\left(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}\right) \alpha^{T} \alpha=m A \text {, 其中 } m=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}
$$
从而，$(m E-A) A=0$ ，由 $A$ 非零，故 $m$ 为其特征根，且 $A$ 的列向量定是 $(m E-A) X=0$ 的解，从而，$A$ 的列向量张成的空间包含在 $(m E-A) X=0$ 的解空间，即对应于 $m$ 的特征向量至少有 $r(A)$ 个，同样有 $(0 E-A)(m E-A)=0$ ，显然，$m E-A$ 非零，有 0 也是特征值，且其对应的特征向量的维数为 $A X=0$ 解空间的维数，即 $n-r(A)$ ，则对应于 $m$ 与 0 的特征向量共有 $n$ 个，且两两线性无关，从而 $A$ 可对角化．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：记A=α^Tα，计算A²=mA，得特征值m和0；利用(mE-A)A=0证明可对角化，对角矩阵为diag(m,0,...,0)。
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