武汉大学真题 第20666题
📝 题目
7．（20 分）已知二次曲面方程 $x^{2}+k y^{2}+z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z=4$ 可通过正交变换
$\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right)$,
化为椭圆柱面 $y^{\prime 2}+4 z^{\prime 2}=4$ ，求 $k$ 的值和正交矩阵 $P$ ．
💡 答案解析
7．解 令 $f(x, y, z)=x^{2}+k y^{2}+z^{2}+2 x y+2 x z+2 y z$ ，则 $f(x, y, z)$ 的二次型矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & k & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right),
$$
由实对称阵 $A$ 经正交变换变换成 $\left(\begin{array}{ccc}1 & & \\ & 4 & \\ & & 0\end{array}\right)$ ，即 $A$ 的特征根为 $1, ~ 4, ~ 0$ ，
$$
|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & -1 & -1 \\
-1 & \lambda-k & -1 \\
-1 & -1 & \lambda-1
\end{array}\right|=\lambda\left(\lambda^{2}-(k+2) \lambda+2 k-2\right)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-4)
$$
解得 $k=3$ ．
解齐次方程组 $(E-A) X=0$ ，得对应 $\lambda=1$ 的一个特征向量 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$
同样得对应 $\lambda=4$ 及 $\lambda=0$ 的特征向量分别为 $\alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．
显然它们两两正交，将它们单位化，且记
$$
\begin{aligned}
& \beta_{1}=\frac{\alpha_{3}}{\sqrt{\left(\alpha_{3}, \alpha_{3}\right)}}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T} \\
& \beta_{2}=\frac{\alpha_{1}}{\sqrt{\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right)}}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{T} \\
& \beta_{3}=\frac{\alpha_{2}}{\sqrt{\left(\alpha_{2}, \alpha_{2}\right)}}=\left(\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{2 \sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{T}
\end{aligned}
$$
令 $P=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6} \\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{2 \sqrt{6}}{6} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right)$ ，则 $P$ 即为题目要求的正交矩阵．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：写出二次型矩阵A，由标准形特征值1,4,0确定特征多项式，解出k=3；求各特征值的特征向量并单位化得正交矩阵P。
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