武汉大学真题 第20665题
📝 题目
6．（15 分）设 $A 、 B$ 是 $n$ 阶非零矩阵，且有 $A^{2}=A, B^{2}=B, A B=B A=0$ ，证明：
（1） 0,1 必是 $A 、 B$ 的特征值；
（2）若 $X$ 是 $A$ 的属于特征值 1 的特征向量，则 $X$ 也是 $B$ 的属于特征值 0 的特征向量．
💡 答案解析
6．证 由 $A B=B A=0$ ，即 $|A|=|B|=0$ ，则由方阵的行列式为零的充要条件是以零作为一个特征值（北大版《高等代数》 327 页），故 0 是其中的一个特征值。
由 $A^{2}=A$ 知，$(E-A) A=(E-A)\left(A_{1}, \cdots, A_{n}\right)=0$ ，则 $(E-A) A_{i}=0(1 \leq i \leq n)$ ，由 $A$ 非零，则有一 $A_{i}$ 非零，显然，$\lambda=1$ 。即 0,1 必是 $A$ 的特征值．同样，对 $B$ 也成立．
若 $X$ 是 $A$ 的属于特征值 1 的特征向量，$X \neq 0$ ，则 $A X=X$ ，故 $B X=B A X=0$ ，故 $X$ 也是 $B$ 的属于特征值为零的特征向量。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由AB=BA=0得|A|=|B|=0，故0是特征值；由A²=A得(A-E)A=0，A非零故1是特征值；若AX=X，则BX=BAX=0。
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