武汉大学真题 第20664题
📝 题目
5．（10 分）求 $\lambda$ 的值，使
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\lambda\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}+x_{4}^{2}
$$
是正定的二次型。
💡 答案解析
5．解 二次型的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1 & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & -1 & 0 \\ 1 & -1 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
若 $A$ 正定，则 $A$ 的顺序主子式全大于零，即
$$
\begin{aligned}
& \lambda>0 \\
& \left|\begin{array}{ll}
\lambda & 1 \\
1 & \lambda
\end{array}\right|=\lambda^{2}-1>0 \\
& \left|\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & -1 \\
1 & -1 & \lambda
\end{array}\right|=(\lambda+1)(\lambda+2)(\lambda-1)>0
\end{aligned}
$$
解得 $\lambda>1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：写出二次型的对称矩阵A，根据正定条件各阶顺序主子式>0，列出不等式组，解得λ>1。
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