武汉大学真题 第20663题
📝 题目
4．（10 分）求实二次型 $f\left(x_{1}, \cdots x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}(n \geq 2)$ 的秩和正、负惯性指数．
💡 答案解析
4．解 令 $X=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，则
$$
\begin{aligned}
f(x, y) & =n X^{T} X-((1 \\
\cdots & 1) X)^{2}=X^{T} n E X-X^{T}\left(\begin{array}{l}
1 \\
\vdots \\
1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & \cdots & 1
\end{array}\right) X \\
& =X^{T}\left(\begin{array}{ccc}
n-1 & \cdots & -1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
-1 & & n-1
\end{array}\right) X
\end{aligned}
$$
其二次型矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}n-1 & \cdots & -1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & & n-1\end{array}\right)$ ，
将矩阵初等变换
$$
\begin{aligned}
&\left(\begin{array}{ccc}
n-1 & \cdots & -1 \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
-1 & & n-1
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
n-1 & & \cdots & -1 \\
\vdots & \ddots & & \vdots \\
-1 & & n-1 & -1 \\
0 & & & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & & \cdots & -n+1 \\
\vdots & \ddots & & \vdots \\
-1 & & n-1 & -1 \\
0 & & & 0
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & -n+1 \\
0 & n & \cdots & -n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & & n \\
0 & 0 & \cdots & -n \\
0
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
显然，$r(A)=n-1$ ，易得其特征值为 $1, n$（ $n-2$ 重）， 0 ，故得其正惯性指数为 $n-1$ ，负惯性指数为 0 ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：二次型写成矩阵形式，求出矩阵A；通过初等行变换或求特征值得到秩为n-1，正惯性指数为n-1，负惯性指数为0。
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