武汉大学真题 第20732题

七．解（1）易知 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-A|=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a\right)$ ． 若 $\lambda=1$ 是 $f(\lambda)$ 的二重根，则 $\lambda=1$ 是 $\lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 的零点，即 $1^{2}-6+8-3 a=0$ ，解得 $a=1$ 。此时，对 $\lambda E-A$ 作初等变换化为正规形 $$ \lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -5 & -5 \\ 0 & \lambda-4 & -3 \\ 0 & -1 & \lambda-2 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll} 1 & & \\ & \lambda-1 & \\ & & (\lambda-1)(\lambda-5) \end{array}\right) $$ 所以，$A$ 的最小多项式 $m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-5)$ ．又 $A$ 的初等因子组为 $\lambda-1, \lambda-1, \lambda-5$ ，故 $A$ 的 Jordan 标准形为对角阵 $J_{1}=\operatorname{diag}(1,1,5)$ 。 若 $\lambda=1$ 不是 $f(\lambda)$ 的二重根，则 $\lambda^{2}-6 \lambda+8-3 a$ 为完全平方，从而 $8-3 a=9$ ，解得 $a=-\frac{1}{3}$ ，此时，对 $\lambda E-A$ 作初等变换化为正规形 $$ \lambda E-A=\left(\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -5 & -5 \\ 0 & \lambda-4 & -3 \\ 0 & \frac{1}{3} & \lambda-2 \end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll} 1 & & \\ & 1 & \\ & & (\lambda-1)(\lambda-3)^{2} \end{array}\right) $$ 所以，$A$ 的最小多项式 $m(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)^{2}$ ．又 $A$ 的初等因子组为 $\lambda-1,(\lambda-3)^{2}$ ，故 $A$的 Jordan 标准形为 $$ J_{2}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) $$ （2）根据上面解答可知，$A$ 相似于对角矩阵的充分必要条件是 $a=1$ ． \(\square\)