浙江大学真题 第20989题
📝 题目
2．（10 分）设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$X^{T}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), Y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)^{T}, a$ 是一个数。
（1）求证：$\left|\begin{array}{cc}A & Y \\ X^{T} & 0\end{array}\right|=-X^{T} A^{*} Y$ ．
（2）再证：$\left|\begin{array}{cc}A & Y \\ X^{T} & a\end{array}\right|=a|A|-X^{T} A^{*} Y$ 。（其中 $A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵）
💡 答案解析
2．证（1）当 $A$ 可逆时，利用分块矩阵的初等变换得
$$
\left[\begin{array}{cc}
A & Y \\
X^{T} & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
A & Y \\
0 & -X^{T} A^{-1} Y
\end{array}\right]=\left|A \|-X^{T} A^{-1} Y\right|=-X^{T}|A| A^{-1} Y=-X^{T} A^{*} Y .
$$
当 $A$ 不可逆时，考虑 $A_{1}=A+t E$ ，则存在无穷多个 $t$ ，使得 $A_{1}$ 可逆，对 $A_{1}$ 利用上面的结果有
$$
\left|\begin{array}{cc}
A_{1} & Y \\
X^{T} & 0
\end{array}\right|=-X^{T} A_{1}^{*} Y
$$
上式两边都是 $t$ 的多项式，且有无穷多个 $t$ 使得等式成立，故当 $t=0$ 时，等式也成立．从而结论成立．
（2）利用（1）的结论，有
$$
\left|\begin{array}{cc}
A & Y \\
X^{T} & a
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
A & Y \\
0 & a
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}
A & Y \\
X^{T} & 0
\end{array}\right|=a|A|-X^{T} A^{*} Y
$$
注：（1）可另证为：
当 $A$ 可逆时，有以下的分块矩阵的初等变换：
$$
\left[\begin{array}{cc}
E & 0 \\
-X^{T} & E
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A^{-1} & 0 \\
0 & E
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
A & Y \\
X^{T} & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
E & 0 \\
-X^{T} & E
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
E & A^{-1} Y \\
X^{T} & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
E & A^{-1} Y \\
0 & -X^{T} A^{-1} Y
\end{array}\right] .
$$
两边取行列式，可得
$$
\left|A^{-1}\right|\left|\begin{array}{cc}
A & Y \\
X^{T} & 0
\end{array}\right|=\left|-X^{T} A^{-1} Y\right|
$$
从而
$$
\left|\begin{array}{cc}
A & Y \\
X^{T} & 0
\end{array}\right|=\left|A \|-X^{T} A^{-1} Y\right|=|A| \times\left(-X^{T} A^{-1} Y\right)=-X^{T}|A| A^{-1} Y=-X^{T} A^{*} Y .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：分A可逆和不可逆两种情形。可逆时利用分块初等变换化为上三角求行列式；不可逆时构造A+tE用多项式恒等得到等式。
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