浙江大学真题 第20988题
📝 题目
1．（10 分）设整系数多项式 $f(x)$ 的次数是 $n=2 m$ 或 $n=2 m+1$（其中 $m$ 为正整数）．
证明：如果有 $k(\geq 2 m+1)$ 个不同的整数 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{k}$ 使 $f\left(\alpha_{i}\right)$ 取值 1 或 -1 ，则 $f(x)$ 在有理数域上不可约．（提示：用反证法）
💡 答案解析
1．证 反证法．设 $f(x)$ 在有理数域上不可约可约，由于 $f(x)$ 为整系数多项式，故必可表为两次数大于零的整系数多项式的乘积，即存在整系数多项式 $g(x), h(x)$ ，使得
$$
f(x)=g(x) h(x), \quad \partial(g(x))>0, \quad \partial(h(x))>0 .
$$
\footnotetext{
＊解答人：陈现平 聊城大学
}
不妨设 $\partial(g(x)) \geq \partial(h(x))$ ，于是 $\partial(h(x)) \leq m$ ．由题设可有
$$
f\left(\alpha_{i}\right)=\varepsilon, \quad i=1,2, \cdots, k, \quad \varepsilon=1 \text { 或 }-1 \text {, }
$$
即有
$$
f\left(\alpha_{i}\right)=g\left(\alpha_{i}\right) h\left(\alpha_{i}\right)=\varepsilon .
$$
由 $g(x), h(x)$ 均为整系数多项式及 $\alpha_{i}$ 为整数，故 $h\left(\alpha_{i}\right)=\varepsilon, i=1,2, \cdots, k$ 。从而我们可以断言 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{k}$ 中必有 $j(>m)$ 个元素使得 $h(x)$ 取值为 1 或者有 $l(>m)$ 个元素使得 $h(x)$ 取值为 -1 。由于 $\partial(h(x)) \leq m$ ，故对应于两种情况，就有 $h(x)$ 恒等于 1 或 $h(x)$ 恒等于 -1 ．而这都与 $\partial(h(x))>0$ 矛盾．所以 $f(x)$ 在有理数域上是不可约的．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：反证法，假设f(x)可约，设为两整系数多项式乘积g(x)h(x)，由已知有≥2m+1个整数使函数值为±1，利用h(x)次数≤m推出h(x)恒为1或-1，矛盾。
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