浙江大学真题 第20970题
📝 题目
9．（16 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} V_{1}<\operatorname{dim} V_{2}$ 。证
明：$V_{2}$ 中存在一个非零向量，它与 $V_{1}$ 中任一个向量正交。
$\operatorname{det} A \geq \operatorname{det} A^{2} \geq \operatorname{det} A^{3} \geq \operatorname{det} A^{4} \geq \cdots$
而秩 A 是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，
必然存在一个正整数 m ，使 $\operatorname{det} A^{m}=\operatorname{det} A^{m+1}$
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：考虑V1的正交补空间W，由维数公式得dimW≥n-dimV1，进而dim(V2∩W)≥dimV2+dimW-n>0，故存在非零向量正交于V1。
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