浙江大学真题 第20991题
📝 题目
4．（10 分）设 $A$ 是 $n \times s$ 矩阵，证明：秩（ $A$ ）$=r$ 的充分必要条件是存在两个列满秩的矩阵 $B_{n \times r}$ 和 $C_{s \times r}$ 使 $A=B C^{T}$ ．
💡 答案解析
4．证 $r(A)=r \Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $P_{n \times n}, Q_{s \times s}$ ，使得 $A=P\left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right) Q$ ．
$\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $P_{n \times n}, Q_{s \times s}$ ，使得 $A=P\binom{E_{r}}{0}\left(\begin{array}{ll}E_{r} & 0\end{array}\right) Q$ ．
$\Leftrightarrow$ 存在两个列满秩的矩阵 $B_{n \times r}$ 和 $C_{s \times r}$ 使 $A=B C^{T}$ ，其中
$B=P\binom{E_{r}}{0}, C=Q^{T}\binom{E_{r}}{0}$.
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：必要性：由秩为r存在可逆矩阵P,Q使A=P diag(E_r,0)Q，分解为BC^T；充分性：若A=BC^T且B,C列满秩，则r(A)=r。
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