浙江大学真题 第20992题
📝 题目
5．（20 分）设 $T_{1}, T_{2}$ 为线性空间 $V$ 的两个线性变换，若有 $V$ 的可逆线性变换 $S$ 使 $T_{1}=S^{-1} T_{2} S$ ，则称 $T_{1}$ 与 $T_{2}$ 相似．证明：$T_{1}$ 与 $T_{2}$ 相似的充要条件是：存在可逆线性变换 $S$ ，
使对 $V$ 中任一向量 $\alpha$ ，由 $T_{1} \alpha=\beta$ 可得 $T_{2}(S \alpha)=S \beta$ ．
💡 答案解析
5．解 必要性．由 $T_{1}$ 与 $T_{2}$ 相似，则有 $V$ 的可逆线性变换 $S$ 使得 $T_{1}=S^{-1} T_{2} S$ ，即
$S T_{1}=T_{2} S$ ，从而对 $V$ 中任一向量 $\alpha$ ，由 $T_{1} \alpha=\beta$ 可得
$$
T_{2}(S \alpha)=S T_{1}(\alpha)=S\left(T_{1} \alpha\right)=S \beta
$$
充分性。由
$$
\begin{gathered}
T_{1} \alpha=\beta, \\
T_{2}(S \alpha)=S \beta
\end{gathered}
$$
可得
$$
T_{2} S(\alpha)=S \beta=S\left(T_{1} \alpha\right)=S T_{1}(\alpha)
$$
由 $\alpha$ 的任意性，可得 $T_{2} S=S T_{1}$ ，而 $S$ 可逆，故 $T_{1}=S^{-1} T_{2} S$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：必要性：由T1=S^{-1}T2S得ST1=T2S，从而由T1α=β推出T2(Sα)=Sβ；充分性：由条件得T2S=ST1，结合S可逆得相似。
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