浙江大学真题 第20993题
📝 题目
6．（20 分）若把所有 $n$ 阶实对称矩阵按合同关系分类，问共有几类（说明原因）？每一类中最简单的矩阵是什么？
💡 答案解析
6．解 由于两个 $n$ 阶实对称矩阵合同的充要条件为其秩相等，并且正惯性指数也相等。故当秩为 $r$ 时，正惯性整数可以是 $0,1, \cdots, ~ r$ ，从而共有 $r+1$ 类，而 $r$ 可以是 0 ， $1, \cdots, n$ ，故一共有
$$
1+2+3+\cdots+(n+1)=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)
$$
类．每一类中，最简单的矩阵为
$$
\left(\begin{array}{lll}
E_{p} & & \\
& -E_{r-p} & \\
& & 0
\end{array}\right)
$$
其中 $r$ 为矩阵的秩，$p$ 为正惯性指数．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：由惯性定理，n阶实对称矩阵按合同分类取决于秩r和正惯性指数p，r=0..n，每个r有p=0..r，共(n+1)(n+2)/2类，每类标准形为diag(E_p,-E_{r-p},0)。
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