浙江大学真题 第20994题
📝 题目
7．（20 分）（1）在 $R^{2}$ 中内积定义为 $\langle x, y\rangle=4 x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}$（其中 $\left.x=\left(x_{1}, x_{2}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}\right)^{T} \in R^{2}\right)$ ，令 $S=\{x:\|x\|=1\},\| \|$ 表示向量的长度，说明 $S$ 是什么形状的图形，并画出草图．
（2）令 $W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]: 2 a-b+3 c+d=0, a, b, c, d \in R\right\}$ 。证明 $W$ 关于矩阵的加法和数乘成为 $R$ 上的线性空间，并求出 $W$ 的一组基．
💡 答案解析
7．（1）解 由于 $\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}=\sqrt{4 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$ ，故 $\|x\|=1$ 等价于 $4 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ 。从而 $S$ 表示的图形为椭圆。（图略）
（2）证 $\forall A, B \in W, k \in R$ ，设
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
a_{1} & b_{1} \\
c_{1} & d_{1}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}
a_{2} & b_{2} \\
c_{2} & d_{2}
\end{array}\right) 2 a_{i}-b_{i}+3 c_{i}+d_{i}=0, a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i} \in R, i=1,2
$$
则
$$
\begin{gathered}
A+B=\left(\begin{array}{ll}
a_{1}+a_{2} & b_{1}+b_{2} \\
c_{1}+c_{2} & d_{1}+d_{2}
\end{array}\right), 2\left(a_{1}+a_{2}\right)-\left(b_{1}+b_{2}\right)+3\left(c_{1}+c_{2}\right)+\left(d_{1}+d_{2}\right)=0 \\
k A=\left(\begin{array}{ll}
k a_{1} & k b_{1} \\
k c_{1} & k d_{1}
\end{array}\right), 2\left(k a_{1}\right)-2 k b_{1}+3 k c_{1}+k d_{1}=0
\end{gathered}
$$
故 $W$ 关于矩阵的加法和数乘成为 $R$ 上的线性空间．
$$
\forall\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right) \in W \text {, 由于 } 2 a-b+3 c+d=0 \text {, 即 } b=2 a+3 c+d \text {, 从而 }
$$
$$
\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
a & 2 a+3 c+d \\
c & d
\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
0 & 0
\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{ll}
0 & 3 \\
1 & 0
\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
易知
$$
\left(\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
0 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
0 & 3 \\
1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)
$$
线性无关，从而为 $W$ 的一组基，故 $\operatorname{dim} W=3$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：(1)由内积得范数方程4x1^2+x2^2=1，为椭圆。(2)验证W对加法和数乘封闭，找到基为[1,2;0,0],[0,3;1,0],[0,1;0,1]。
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