浙江大学真题 第20996题
📝 题目
9．（20 分）对复域上方阵 $A$ ，证明：
（1）存在正整数 $m$ 使 $A^{m}=0$ 当且仅当 $A$ 的特征值均为零；
（2）若存在正整数 $m$ 使 $A^{m}=0$ ，证明：$|A+E|=1$ 。（其中 $E$ 表示与 $A$ 同阶的单位矩阵）
💡 答案解析
9．证（1）必要性．设 $\lambda$ 为 $A$ 的任意一个特征值，$\alpha$ 为属于 $\lambda$ 的一个特征向量，即 $A \alpha=\lambda \alpha$ ，由 $A^{m}=0$ ，有 $0=A^{m} \alpha=\lambda^{m} \alpha$ ，故 $\lambda^{m}=0$ ，即 $\lambda=0$ ．
充分性．由题设知，$A$ 的特征多项式为 $f_{A}(\lambda)=\lambda^{n}$ ，由 Hamilton－Cayley 定理知， $A^{n}=0$.
（2）由（1）知，$A+E$ 的特征值全为 1 ，故 $|A+E|=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 必要性：由特征向量推出特征值为零；2. 充分性：利用Hamilton-Cayley定理得A^n=0；3. A+E特征值全为1，故行列式为1。
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