浙江大学真题 第20997题
📝 题目
10．（10 分）设 $T$ 是 $n$ 维欧式空间的一个映射，若它不改变向量间的距离且将零向量变为零向量，则它是一个正交变换．
💡 答案解析
10．证 设 $T$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个映射，且 $\forall \alpha, \beta \in V$ ，有
$$
|T(\alpha)-T(\beta)|=|\alpha-\beta|, T(0)=0
$$
则令 $\beta=0$ ，可得 $|T(\alpha)|=|\alpha|, \forall \alpha \in V$ ，即 $T$ 保持向量的长度不变。
$$
\begin{aligned}
& \forall \alpha, \beta \in V, \quad \forall k \in R, \quad \text { 则 } \\
& \qquad \quad(T(\alpha), T(\alpha))=|T(\alpha)|^{2}=|T(\alpha)-T(0)|^{2}=|\alpha-0|^{2}=(\alpha, \alpha)
\end{aligned}
$$
同理 $(T(\beta), T(\beta))=(\beta, \beta)$ ，又 $|T(\alpha)-T(\beta)|=|\alpha-\beta|$ ，即
$$
(T(\alpha)-T(\beta), T(\alpha)-T(\beta))=(\alpha-\beta, \alpha-\beta)
$$
两边展开，可得 $(T(\alpha), T(\beta))=(\alpha, \beta)$ ，从而 $T$ 为正交变换。
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1. 由T(0)=0及距离不变得长度不变；2. 由长度及距离展开内积得(T(α),T(β))=(α,β)，从而为正交变换。
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