浙江大学真题 第21001题
📝 题目
四（20分）设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，证明
（1） $\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$
（2）若 $f(x) \geq 0, x \in[0, \pi]$ ，且 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，
则 $f(x) \equiv 0, x \in[0, \pi]$ ，
证 记 $I=\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x$
（1）令 $x=\pi-t$ ，则
$I=\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi}(\pi-t) f(\sin t) \mathrm{d} t=\pi \int_{0}^{\pi} f(\sin t) \mathrm{d} t-I$
因此，左 $=I=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin t) \mathrm{d} t=$ 右
（2）（用反证法）若不然，则 $\exists x_{0} \in[0, \pi]$ 使得 $f\left(x_{0}\right)>0$ ，
由极限的保号性，存在开区间 $(a, b)$ 使得 $x_{0} \in[a, b] \subset[0, \pi]$ ，且当 $x \in(a, b)$ 时，
有 $f(x)>\frac{f\left(x_{0}\right)}{2}$ ，
这与 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0$ 矛盾．
💡 答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：1) 令x=π-t得对称性，解出积分等式；2) 反证法利用连续函数保号性导出矛盾。
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