浙江大学真题 第21004题

七（16 分）设 $u_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n-1} x^{k}(1-x)^{n-k}$ ，证明 $u_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。 证法 1 $$ \forall 0<\varepsilon<\frac{1}{6} \text {, 当 } x \in[0, \varepsilon] \text { 时, }\left|u_{n}(x)\right| \leq \sum_{k=1}^{n-1} x^{k}=\frac{x-x^{n}}{1-x} \leq \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}<2 \varepsilon $$ 当 $x \in[1-\varepsilon, 1]$ 时，由对称性知 $\left|u_{n}(x)\right| \leq \sum_{k=1}^{n-1}(1-x)^{k}<2 \varepsilon$ 当 $x \in[\varepsilon, 1-\varepsilon]$ 时，$\quad\left|u_{n}(x)\right|=\sum_{k=1}^{n-1} x^{k}(1-x)^{n-k} \leq \sum_{k=1}^{n-1}(1-\varepsilon)^{k}(1-\varepsilon)^{n-k}$ $=(n-1)(1-\varepsilon)^{n}$ 因 $\lim _{n \rightarrow \infty}(n-1)(1-\varepsilon)^{n}=0$ ，故对上述的 $\varepsilon$ ，$\exists$ 正整数 $K$ 使得当 $n>K$ 时， $$ \begin{equation*} (n-1)(1-\varepsilon)^{n}<2 \varepsilon \tag{14 分} \end{equation*} $$ 综上，当 $n>K$ 时，$u_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n-1} x^{k}(1-x)^{n-k}<2 \varepsilon$ ，对 $[0,1]$ 中的一切 $x$ 成立， 这表明 $u_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。