计算 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ 和 $\int_{0}^{1} x^{3} d x$。 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ 比较 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$，显然 $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$。因此，选项A错误，选项B正确。

计算 $\int_{1}^{2} x^{3} d x$ 和 $\int_{1}^{2} x^{2} d x$。 $\int_{1}^{2} x^{3} d x = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$ $\int_{1}^{2} x^{2} d x = \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ 比较 $\frac{15}{4}$ 和 $\frac{7}{3}$，$\frac{15}{4} = 3.75$，$\frac{7}{3} \approx 2.333$，因此 $\frac{15}{4} > \frac{7}{3}$。选项C错误。 计算 $\int_{1}^{2} x d x$ 和 $\int_{1}^{2} x^{2} d x$。 $\int_{1}^{2} x d x = \left. \frac{x^{2}}{2} \right|_{1}^{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 比较 $\frac{3}{2}$ 和 $\frac{7}{3}$，$\frac{3}{2} = 1.5$，$\frac{7}{3} \approx 2.333$，因此 $\frac{3}{2} < \frac{7}{3}$。选项D错误。

给定 $y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t$，根据微积分基本定理，$\frac{dy}{dx} = (x-1)^{2}(x+2)$。 在 $x=0$ 处求导数值： $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = (0-1)^{2}(0+2) = 1 \times 2 = 2$。因此，正确答案是D。

微分方程为 $y' + x y = e^{-\frac{x^{2}}{2}}$。 这是一个一阶线性微分方程，其通解形式为 $y = e^{-\int x dx} \left( \int e^{-\frac{x^{2}}{2}} e^{\int x dx} dx + C \right)$。 计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int x dx} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$。 通解为 $y = e^{-\frac{x^{2}}{2}} \left( \int e^{-\frac{x^{2}}{2}} e^{\frac{x^{2}}{2}} dx + C \right) = e^{-\frac{x^{2}}{2}} (x + C)$。 观察选项，$y = x e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 是当 $C=0$ 时的特解，因此选项B正确。