题目要求求 $y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t$ 在 $x=0$ 处的导数 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}$。根据微积分基本定理，如果 $y = \int_{a}^{x} f(t) dt$，那么 $\frac{dy}{dx} = f(x)$。因此，$\frac{dy}{dx} = (x-1)^2(x+2)$。将 $x=0$ 代入，得到 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = (0-1)^2(0+2) = 1 \times 2 = 2$。所以正确答案是 D。

题目给出微分方程 $y' + x y = e^{-\frac{x^2}{2}}$，要求找出正确的解。我们可以逐一验证选项。 **选项A**：$y = e^{-\frac{x^2}{2}}$ 求导得 $y' = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$。代入微分方程： $-x e^{-\frac{x^2}{2}} + x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0 \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$，不满足。 **选项B**：$y = x e^{-\frac{x^2}{2}}$ 求导得 $y' = e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}$。代入微分方程： $e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}$，满足。 **选项C**：$y = e^{\frac{x^2}{2}}$ 求导得 $y' = x e^{\frac{x^2}{2}}$。代入微分方程： $x e^{\frac{x^2}{2}} + x e^{\frac{x^2}{2}} = 2x e^{\frac{x^2}{2}} \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$，不满足。 **选项D**：$y = x e^{\frac{x^2}{2}}$ 求导得 $y' = e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}}$。代入微分方程： $e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}} = e^{\frac{x^2}{2}} + 2x^2 e^{\frac{x^2}{2}} \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$，不满足。 因此，正确答案是 B。