2． $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}} d x}$ ．
换元
令 $t = \ln x$，则 $dt = \frac{1}{x} dx$，当 $x=1$ 时 $t=0$，当 $x=\sqrt{e}$ 时 $t=\frac{1}{2}$。
积分变换
原积分化为 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt$。
计算积分
该积分为 $\arcsin t$ 从 $0$ 到 $\frac{1}{2}$，即 $\arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$。