6．设 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ ，则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$
方程两边对x求偏导
将方程 $x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$ 两边对 $x$ 求偏导，注意 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数，得到 $2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$。
解出偏导数表达式
由 $2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$。
代入给定点求值
将点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 代入，得 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})} = -\frac{1/2}{1/2} = -1$。