2． $\displaystyle{\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域．
确定积分区域与坐标变换
区域D是以原点为圆心、半径为1的圆，采用极坐标变换：x = r cosθ, y = r sinθ，则dxdy = r dr dθ，积分区域变为0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π。
写出极坐标下的二重积分
被积函数e^{-x^2-y^2} = e^{-r^2}，因此积分化为：∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{1} e^{-r^2} r dr dθ。
分离变量并计算内层积分
先对r积分：∫_{0}^{1} e^{-r^2} r dr，令u = r^2，则du = 2r dr，r dr = du/2，积分限u从0到1，得∫_{0}^{1} e^{-u} (1/2) du = (1/2)(-e^{-u})|_{0}^{1} = (1/2)(1 - e^{-1})。
计算外层积分得到结果
外层对θ积分：∫_{0}^{2π} dθ = 2π，因此原积分 = 2π × (1/2)(1 - e^{-1}) = π(1 - e^{-1})。