1．计算由曲线 $y=\cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积．
计算旋转体的体积
由曲线 $y = \cos x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积 $V$ 可以通过积分公式计算：
$$ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\cos x]^2 dx $$
首先计算 $\cos^2 x$ 的积分。利用三角恒等式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$，可以改写积分：
$$ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx $$
分别计算积分：
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = \frac{\pi}{2} $$
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx = \left. \frac{\sin 2x}{2} \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin \pi}{2} - \frac{\sin 0}{2} = 0 $$
因此，体积为：
$$ V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{\pi^2}{4} $$
求二元函数的极值
给定二元函数 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$，首先求其偏导数：
$$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y $$
$$ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x $$
令偏导数为零，解方程组：
$$ 3x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2 $$
$$ 3y^2 - 3x = 0 \Rightarrow x = y^2 $$
将 $y = x^2$ 代入 $x = y^2$，得到：
$$ x = (x^2)^2 = x^4 \Rightarrow x^4 - x = 0 \Rightarrow x(x^3 - 1) = 0 $$
解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。对应的 $y$ 值为：
- 当 $x = 0$ 时，$y = 0^2 = 0$；
- 当 $x = 1$ 时，$y = 1^2 = 1$。
因此，临界点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。
接下来判断极值。计算二阶偏导数：
$$ f_{xx} = 6x, \quad f_{yy} = 6y, \quad f_{xy} = -3 $$
在点 $(0, 0)$：
$$ f_{xx}(0, 0) = 0, \quad f_{yy}(0, 0) = 0, \quad f_{xy}(0, 0) = -3 $$
判别式 $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 = 0 \times 0 - (-3)^2 = -9 < 0$，因此 $(0, 0)$ 是鞍点。
在点 $(1, 1)$：
$$ f_{xx}(1, 1) = 6, \quad f_{yy}(1, 1) = 6, \quad f_{xy}(1, 1) = -3 $$
判别式 $D = 6 \times 6 - (-3)^2 = 36 - 9 = 27 > 0$，且 $f_{xx}(1, 1) = 6 > 0$，因此 $(1, 1)$ 是极小值点。
极小值为 $f(1, 1) = 1^3 + 1^3 - 3 \times 1 \times 1 = -1$。