反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x$ 在 $x=0$ 处可能发散。计算积分： $$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-p} d x = \lim_{a \to 0^+} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{a}^{1}$$ 当 $p \neq 1$ 时，结果为 $\frac{1}{1-p} - \lim_{a \to 0^+} \frac{a^{1-p}}{1-p}$。若 $p < 1$，极限存在且收敛；若 $p \geq 1$，积分发散。因此，积分收敛的条件是 $p < 1$。 选项分析： A：错误，$p \geq 1$ 时积分发散。 B：错误，$p > 1$ 时积分发散。 C：错误，$p \leq 1$ 包含 $p=1$ 时积分发散。 D：正确，$p < 1$ 时积分收敛。

两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 所夹部分的面积应为两者差的绝对值积分，因为面积总是非负的。 选项分析： A：错误，未取绝对值，可能为负。 B：正确，绝对值的积分确保面积为非负。 C：错误，差值积分可能为负。 D：错误，积分差的绝对值不等于面积。

偏导数 $f_{x}^{\prime}(x_0, y_0)$ 的定义为： $$f_{x}^{\prime}(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$ 选项分析： A：错误，分子应为 $f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$，且分母系数不正确。 B：正确，等价于定义式，可通过变量替换得到。 C：错误，分子中 $y$ 也变化，不是偏导数的定义。 D：错误，分子中 $y$ 变化，不是偏导数的定义。