3．设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 出存在偏导数，则 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=(\quad)$
A$\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}-2 \Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}$
B $\displaystyle{\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}\right)-f\left(x_{0}-\Delta x, y_{0}\right)}{\Delta x}}$
C $\displaystyle{\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}}$
D$\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)}{\Delta x}$
回顾偏导数定义
函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数定义为 $f'_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$。
分析选项A
选项A：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0-2\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$。令 $h=-2\Delta x$，则 $\Delta x=-\frac{h}{2}$，极限变为 $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{-h/2}=-2f'_x(x_0,y_0)$，不等于 $f'_x(x_0,y_0)$。
分析选项B
选项B：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0,y_0)-f(x_0-\Delta x, y_0)}{\Delta x}$。令 $h=-\Delta x$，则 $\Delta x=-h$，极限变为 $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0,y_0)-f(x_0+h,y_0)}{-h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}=f'_x(x_0,y_0)$。因此选项B正确。
分析选项C
选项C：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$。这里 $\Delta y$ 未说明与 $\Delta x$ 的关系，且分母只含 $\Delta x$，分子中 $y$ 也变化，不符合偏导数定义中固定 $y$ 的要求，通常不等于 $f'_x(x_0,y_0)$。
分析选项D
选项D：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0+\Delta y)}{\Delta x}$。此极限是函数 $g(x)=f(x, y_0+\Delta y)$ 在 $x_0$ 处的导数，但 $\Delta y$ 未趋于0，因此一般不等于 $f'_x(x_0,y_0)$。