将方程写成标准形式：$y' + P(x)y = Q(x)$。原方程为 $y' = -y + x e^{-x}$，移项得 $y' + y = x e^{-x}$。

方程中 $y'$ 和 $y$ 都是一次项，且 $Q(x) = x e^{-x} \neq 0$，因此是一阶非齐次线性微分方程。

A：方程不能写成 $g(y)dy = f(x)dx$ 的形式，不是可分离变量方程；B：方程不是齐次函数形式；D：因为 $Q(x) \neq 0$，不是齐次线性方程。

因此该方程是一阶非齐次线性微分方程，正确选项为 C。