7．下列数项级数发散的是（ ）．
A$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}}$
B$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\cos \frac{1}{n}\right]}$
C$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}$
D$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{n}}}$
分析选项A
对于级数 ∑ 2^n / n!，使用比值判别法：lim (a_{n+1}/a_n) = lim [2^(n+1)/(n+1)!] / [2^n/n!] = lim 2/(n+1) = 0 < 1，因此级数收敛。
分析选项B
对于级数 ∑ [1 - cos(1/n)]，利用等价无穷小：1 - cos(1/n) ~ 1/(2n^2) (当n→∞)，而∑ 1/(2n^2)是收敛的p级数(p=2>1)，因此原级数收敛。
分析选项C
对于级数 ∑ ln(1+1/n)，利用等价无穷小：ln(1+1/n) ~ 1/n (当n→∞)，而∑ 1/n是发散的调和级数，因此原级数发散。
分析选项D
对于级数 ∑ 1/e^n = ∑ (1/e)^n，这是公比 r = 1/e < 1 的等比级数，因此收敛。
得出结论
只有选项C的级数发散，故答案为C。