首先，我们识别这是一个反常积分，因为积分上限是 $+\infty$。

计算不定积分 $\int \frac{1}{1+x^{2}} dx$，我们知道这是一个基本的积分公式，结果为 $\arctan x + C$。

计算定积分 $\int_{1}^{b} \frac{1}{1+x^{2}} dx = \arctan b - \arctan 1$。

取 $b \to +\infty$ 的极限，$\lim_{b \to +\infty} \arctan b = \frac{\pi}{2}$，$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。

因此，$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$。