5．设 $z=x^{2} y$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。
计算全微分 $dz$
给定函数 $z = x^2 y$，首先计算其全微分 $dz$。全微分的定义为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$。
计算偏导数：
- $\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy$
- $\frac{\partial z}{\partial y} = x^2$
因此，全微分为 $dz = 2xy dx + x^2 dy$。
在点 $(1,2)$ 处求 $dz$
将点 $(1,2)$ 代入全微分表达式：
$\left.dz\right|_{(1,2)} = 2 \cdot 1 \cdot 2 dx + 1^2 dy = 4 dx + dy$。
计算隐函数的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
给定方程 $3x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$，对 $x$ 求偏导，保持 $y$ 为常数：
$6x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$
解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{6x}{2z} = -\frac{3x}{z}$。
在点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 处求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
将点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 代入偏导数表达式：
$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)} = -\frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -3$。
求解微分方程的特征方程
给定微分方程 $y'' + 2y' - 3y = 0$，首先求其特征方程：
$r^2 + 2r - 3 = 0$。
解特征方程
解特征方程 $r^2 + 2r - 3 = 0$：
$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$
因此，$r_1 = 1$，$r_2 = -3$。
写出微分方程的通解
由于特征方程有两个不同的实根 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = -3$，通解为：
$y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。