7．微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$
写出特征方程
由微分方程 y'' + 2y' - 3y = 0，对应的特征方程为 r^2 + 2r - 3 = 0。
求解特征根
解特征方程 r^2 + 2r - 3 = 0，因式分解得 (r + 3)(r - 1) = 0，所以特征根为 r1 = -3，r2 = 1。
写出通解形式
由于特征根为两个不相等的实根，通解形式为 y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}，代入得 y = C1 e^{-3x} + C2 e^{x}，其中C1、C2为任意常数。