9．已知幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ 的收敛半径为 2，则幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}}$ 的收敛半径为 $\_\_\_\_$
理解题意
已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 2，要求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 的收敛半径。
幂级数收敛半径的性质
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$，则逐项求导后的幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 的收敛半径也是 $R$。
应用性质
根据上述性质，$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 的收敛半径与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 相同，即为 2。
结论
因此，所求幂级数的收敛半径为 $\boxed{2}$。