3．设 $y=x^{2}$ 是方程 $x^{2} y^{\prime}+P(x) y=3 x^{3}$ 的一个解，求该方程满足 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的特解
代入已知解求P(x)
已知 y = x² 是方程的解，代入方程：x²·(2x) + P(x)·x² = 3x³，即 2x³ + P(x)x² = 3x³，解得 P(x) = x。
写出原方程并化为标准形式
原方程为 x²y' + x y = 3x³，两边除以 x²（x≠0）得：y' + (1/x) y = 3x。
求对应齐次方程的通解
齐次方程 y' + (1/x) y = 0 的通解为 y = C / x。
用常数变易法求非齐次方程的通解
设 y = C(x)/x，代入非齐次方程得 C'(x)/x = 3x，即 C'(x) = 3x²，积分得 C(x) = x³ + C。因此通解为 y = (x³ + C)/x = x² + C/x。
利用初始条件确定特解
代入 x=1, y=2：2 = 1² + C/1，得 C = 1。所以满足条件的特解为 y = x² + 1/x。