6．下列级数，绝对收敛的是
A$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}}$
B$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}}$
C$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(- 1)^{n} \operatorname { l n }\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)}$
D$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n+1}{n}}$
理解绝对收敛定义
绝对收敛要求原级数各项取绝对值后得到的正项级数收敛。因此需要分别判断每个选项的绝对值级数是否收敛。
分析选项A
选项A：∑|(-1)^n sin(1/n)| = ∑ sin(1/n)。当n→∞时，sin(1/n) ~ 1/n，而∑1/n发散（调和级数），由比较判别法知∑ sin(1/n)发散，故A不是绝对收敛。
分析选项B
选项B：∑|(-1)^n / √n| = ∑ 1/√n = ∑ 1/n^{1/2}，这是p=1/2的p-级数，p≤1时发散，故B不是绝对收敛。
分析选项C
选项C：∑|(-1)^n ln(1+1/n²)| = ∑ ln(1+1/n²)。当n→∞时，ln(1+1/n²) ~ 1/n²，而∑1/n²收敛（p=2的p-级数），由比较判别法知∑ ln(1+1/n²)收敛，故C绝对收敛。
分析选项D
选项D：∑|(-1)^n (n+1)/n| = ∑ (n+1)/n = ∑ (1 + 1/n)，通项不趋于0（趋于1），级数发散，故D不是绝对收敛。
得出结论
只有选项C的绝对值级数收敛，因此绝对收敛的是C。