8．交换积分次序 $\displaystyle{\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1-x} f(x, y) d y=}$
A $\displaystyle{\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1-x} f(x, y) d x}$
B $\displaystyle{\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1-y} f(x, y) d x}$
C $\displaystyle{\int_{0}^{1-x} d y \int_{0}^{1} f(x, y) d x}$
D $\displaystyle{\int_{0}^{1} d y \int_{0}^{1} f(x, y) d x}$
确定积分区域
原积分次序为先x后y：x从0到1，y从0到1-x。积分区域由直线x=0，x=1，y=0和y=1-x围成，即三角形区域：0≤x≤1，0≤y≤1-x。
改写积分区域为y型区域
将区域表示为y的范围：y从0到1；对于固定的y，x的范围从0到1-y。
写出交换次序后的积分
交换次序后积分形式为：∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{1-y} f(x,y) dx。
选择正确选项
对比选项，B选项为∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{1-y} f(x,y) dx，与结果一致。