1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin 2 x \mathrm{~d} x}$ ．
选择分部积分公式
令 u = x，dv = sin(2x) dx，则 du = dx，v = -1/2 cos(2x)。
应用分部积分公式
∫ x sin(2x) dx = -x/2 cos(2x) - ∫ (-1/2 cos(2x)) dx = -x/2 cos(2x) + 1/2 ∫ cos(2x) dx
计算积分
∫ cos(2x) dx = (1/2) sin(2x)，所以原函数为 -x/2 cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C
代入上下限
在 [0, π/2] 上计算：F(π/2) = -π/4 cos(π) + 1/4 sin(π) = -π/4 * (-1) + 0 = π/4；F(0) = 0 + 0 = 0。
得出结果
定积分值为 π/4。