2． $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}$ ．
识别被积函数形式
被积函数为 \(\frac{2x}{1+x^2}\)，注意到分子 \(2x\) 恰好是分母 \(1+x^2\) 的导数，因此可以考虑直接积分。
求原函数
由 \(\int \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln(1+x^2) + C\)，因为 \(\frac{d}{dx}[\ln(1+x^2)] = \frac{2x}{1+x^2}\)。
代入上下限计算定积分
计算 \(\int_0^1 \frac{2x}{1+x^2} dx = \left[ \ln(1+x^2) \right]_0^1 = \ln(1+1^2) - \ln(1+0^2) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2\)。