计算积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx$。首先，找到被积函数 $\frac{1}{x^2}$ 的原函数。原函数为 $-\frac{1}{x} + C$，其中 $C$ 为常数。然后，计算定积分： $$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{+\infty} = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = 0 + 1 = 1$$

已知微分方程的通解为 $y = e^{x} + Cx^{2}$，其中 $C$ 为任意常数。在初值条件 $y|_{x=1} = e$ 下，求特解。将 $x=1$ 和 $y=e$ 代入通解： $$e = e^{1} + C \cdot 1^{2} \Rightarrow e = e + C \Rightarrow C = 0$$ 因此，特解为 $y = e^{x}$。