对于函数 $z = xy$，其全微分为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。计算偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = y$，$\frac{\partial z}{\partial y} = x$。因此，$dz = y dx + x dy$。

将点 $(1,2)$ 代入 $dz$ 的表达式：$dz|_{(1,2)} = 2 dx + 1 dy = 2dx + dy$。

对于方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，假设 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数。对两边关于 $x$ 求偏导：$2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$，解得 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$。

将点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 代入 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$，得到 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。