1．计算由曲线 $y=\cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0$ 和 $y=0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积。
第一题：建立旋转体体积公式
曲线 y = cos x 在区间 [0, π/2] 上，绕 x 轴旋转的体积公式为 V = π ∫_{0}^{π/2} (cos x)^2 dx。
第一题：计算积分
利用倍角公式 cos²x = (1+cos2x)/2，则 V = π ∫_{0}^{π/2} (1+cos2x)/2 dx = π/2 [x + (sin2x)/2]_{0}^{π/2} = π/2 * (π/2) = π²/4。
第二题：设变量并建立目标函数
设水箱长、宽、高分别为 x, y, z（单位：m），容积 V = xyz = 2。用料最省即表面积最小，表面积 S = 2(xy + yz + zx)。
第二题：消元转化为二元函数
由 xyz = 2 得 z = 2/(xy)，代入表面积得 S(x,y) = 2(xy + 2/x + 2/y)。
第二题：求偏导并解驻点
求偏导：∂S/∂x = 2(y - 2/x²) = 0，∂S/∂y = 2(x - 2/y²) = 0。解得 x = y = ∛2，进而 z = 2/(∛2 * ∛2) = ∛2。
第二题：结论
当长、宽、高均为 ∛2 m 时，即做成正方体时，用料最省。