函数 $f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 在 $(x,y)\neq(0,0)$ 时有定义，原点处无定义。

沿不同路径趋近原点：沿 $x$ 轴（$y=0$）时，$f(x,0)=\frac{x}{|x|}$，极限为 $\pm1$ 取决于方向；沿 $y$ 轴（$x=0$）时，$f(0,y)=0$，极限为 $0$。因此极限不存在。

由于在 $(0,0)$ 处函数无定义且极限不存在，故函数在原点不连续。

对 $x$ 求偏导：$f_x = \frac{\sqrt{x^2+y^2} - x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。对 $y$ 求偏导：$f_y = x\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{2y}{(x^2+y^2)^{3/2}} = -\frac{xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$。