10．假设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，那么二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} f(x, y) d \sigma}$ 利用极坐标积分的表达式为
A $\displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} f(r, \theta) d r}$
B $\displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} f(r, \theta) r d r}$
C $\displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) d r}$
D $\displaystyle{\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r}$
确定积分区域与坐标变换
积分区域 $D = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1\}$ 是单位圆盘。在极坐标下，令 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$，其中 $r \geq 0$，$\theta \in [0, 2\pi)$。区域 $D$ 对应 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
写出面积元素变换
直角坐标下的面积元素 $d\sigma = dx\,dy$ 在极坐标下变换为 $d\sigma = r\,dr\,d\theta$。这是因为雅可比行列式的绝对值为 $r$。
写出二重积分的极坐标表达式
将 $f(x, y)$ 用极坐标表示：$f(x, y) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$。代入积分限和面积元素，得到：
$$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\,dr\,d\theta$$
匹配选项并得出答案
对比选项：
A：缺少 $r$ 和 $f$ 的自变量形式错误
B：缺少 $f$ 的自变量形式错误
C：缺少 $r$ 因子
D：形式完全正确：$\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r\,dr$
因此正确答案为 D。