2．假设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=0$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{x} f^{\prime}(2 t) \mathrm{d} t=}$
A$f(x)$
B$f(2 x)$
C$\frac{1}{2} f(x)$
D$\frac{1}{2} f(2 x)$
换元处理
令 $u = 2t$，则 $t = \frac{u}{2}$，$\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$。当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=x$ 时 $u=2x$。
代入积分
原积分化为 $\int_{0}^{2x} f'(u) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_{0}^{2x} f'(u) \mathrm{d}u$。
利用牛顿-莱布尼茨公式
由微积分基本定理，$\int_{0}^{2x} f'(u) \mathrm{d}u = f(2x) - f(0)$。已知 $f(0)=0$，所以结果为 $f(2x)$。
得出最终结果
因此原积分 $= \frac{1}{2} f(2x)$，对应选项 D。