给定微分方程 $y' = xy$，这是一个可分离变量的微分方程。我们可以将其改写为 $\frac{dy}{y} = x dx$，然后两边积分。

积分后得到 $\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$，其中 $C$ 为常数。因此，通解为 $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$。

A选项 $y = e^x$ 不满足方程，因为 $y' = e^x \neq x e^x = xy$。\nB选项 $y = e^{x^2}$ 不满足方程，因为 $y' = 2x e^{x^2} \neq x e^{x^2} = xy$。\nC选项 $y = e^{\frac{x^2}{2}}$ 满足方程，因为 $y' = x e^{\frac{x^2}{2}} = xy$。\nD选项 $y = \frac{1}{2} e^{x^2}$ 不满足方程，因为 $y' = x e^{x^2} \neq x \cdot \frac{1}{2} e^{x^2} = xy$。

题目给出 $a_n > 0$ 且 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 1$。这意味着 $a_n$ 与 $\frac{1}{n}$ 同阶。

由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的调和级数，且 $a_n$ 与 $\frac{1}{n}$ 同阶，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也发散。

A选项 '可能收敛' 错误，因为级数一定发散。\nB选项 '一定收敛' 错误。\nC选项 '一定发散' 正确。\nD选项 '与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛性相同' 不一定正确，因为 $a_n^2$ 与 $\frac{1}{n^2}$ 同阶，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 可能收敛。