2022年一-7 - 期末试题

2022年 · 一-7

7．反常积分 $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} d x}$ ，．

A$p \geq 1$ 时收敛，$p\lt 1$ 时发散

B$p \leq 1$ 时收敛，$p>1$ 时发散

C$p>1$ 时收敛，$p \leq 1$ 时发散

D$p\lt 1$ 时收敛，$p \geq 1$ 时发散

选择题 ★★★★

确定收敛半径

由题意，幂级数在 x=1 处条件收敛，说明收敛半径 R = 1，且 x=1 是收敛区间端点。

分析选项A

x=1/2 在收敛区间内部（|x|

分析选项B

x=2 在收敛区间外部（|x|>R），故幂级数发散，B正确。

分析选项C

x=-1 是收敛区间另一端点，幂级数在 x=-1 处可能绝对收敛、条件收敛或发散，但由条件收敛在 x=1 处不能直接推出 x=-1 处也条件收敛，实际上可能绝对收敛或发散，因此C的说法不一定正确，是错误选项。

分析选项D

幂级数在收敛区间内闭一致收敛，和函数在收敛区间内连续，端点处若收敛则和函数在该点单侧连续。已知在 x=1 处收敛（条件收敛），故和函数在 x=1 处左连续，但题目未说明定义域包含右侧，通常理解为在收敛域内连续，因此D正确。

得出结论

错误的说法是C。