函数 $z=\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)+\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 的定义域需要满足两个条件：
1. 对数部分 $\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)$ 要求 $x^{2}+y^{2}-1>0$，即 $x^{2}+y^{2}>1$。
2. 平方根部分 $\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 要求 $2-x^{2}-y^{2} \geq 0$，即 $x^{2}+y^{2} \leq 2$。
综合以上两个条件，定义域为 $1
题目9：偏导数与函数单调性分析
题目条件：函数 $z=f(x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 的某个邻域内连续，且 $f_{x}^{\prime}(x_{0}, y_{0})>0$。
选项分析：
- A：$f(x, y)>f(x_{0}, y_{0})$ 不一定成立，因为 $f_{x}^{\prime}>0$ 仅说明在 $x$ 方向单调递增，但 $y$ 方向的变化未知。
- B：$f(x, y)>f(x_{0}, y)$ 不一定成立，因为 $y$ 的变化可能影响函数值。
- C：$f(x, y_{0})>f(x_{0}, y_{0})$ 是正确的，因为 $f_{x}^{\prime}>0$ 说明在 $x$ 方向单调递增，当 $x>x_{0}$ 时，$f(x, y_{0})>f(x_{0}, y_{0})$。
- D：$f(x, y)>f(x, y_{0})$ 不一定成立，因为 $y$ 方向的变化未知。
因此正确答案是 C。
题目10：极坐标下的二重积分表达式
题目条件：$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$。
极坐标变换：
- $x = r \cos \theta$
- $y = r \sin \theta$
- 面积元素 $d \sigma = r dr d \theta$
积分表达式为：
$$\iint_{D} f(x, y) d \sigma = \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$$
因此正确答案是 D。