1． $\displaystyle{\int_{0}^{\ln 2} x e^{-x} \mathrm{~d} x}$ ．
选择分部积分公式
令 u = x，dv = e^{-x} dx，则 du = dx，v = -e^{-x}。
应用分部积分公式
∫ x e^{-x} dx = -x e^{-x} - ∫ (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + ∫ e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C。
代入上下限计算定积分
∫_{0}^{ln2} x e^{-x} dx = [ -x e^{-x} - e^{-x} ]_{0}^{ln2} = (-ln2·e^{-ln2} - e^{-ln2}) - (0 - 1) = (-ln2·(1/2) - 1/2) + 1 = - (ln2)/2 - 1/2 + 1 = 1/2 - (ln2)/2 = (1 - ln2)/2。