1． $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=}$ $\_\_\_\_$。
计算定积分
计算积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x$。
这是一个广义积分，我们需要先计算不定积分，再取极限。
不定积分：
$$\int \frac{1}{1+x^{2}} d x = \arctan x + C$$
广义积分：
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x = \lim_{b \to +\infty} \left[ \arctan x \right]_{1}^{b} = \lim_{b \to +\infty} (\arctan b - \arctan 1)$$
已知 $\arctan b \to \frac{\pi}{2}$ 当 $b \to +\infty$，且 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$。
因此：
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$
最终答案为：$\boxed{\dfrac{\pi}{4}}$
求微分方程的特解
已知微分方程的通解为 $y = C \cos x + x$，其中 $C$ 为任意常数。求在初值条件 $y|_{x=0} = 1$ 下的特解。
将初值条件代入通解：
$$y(0) = C \cos 0 + 0 = C \cdot 1 = C$$
根据初值条件 $y(0) = 1$，因此：
$$C = 1$$
将 $C = 1$ 代入通解，得到特解：
$$y = \cos x + x$$
最终答案为：$\boxed{\cos x + x}$