10．已知幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ 的在收敛区间内的和函数为 $\ln (1+x)$ ，那么幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}}$ 的和函数为
识别已知条件
已知幂级数 ∑_{n=1}^{∞} a_n x^n 的和函数为 ln(1+x)，即 ∑_{n=1}^{∞} a_n x^n = ln(1+x)，收敛区间为 (-1,1]。
利用逐项求导性质
对已知的幂级数逐项求导，得到 ∑_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} = d/dx [ln(1+x)]。
计算导数
d/dx [ln(1+x)] = 1/(1+x)。
得出结果
因此，幂级数 ∑_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} 的和函数为 1/(1+x)，收敛区间为 (-1,1)。