题目给出了一个函数 $f(x) = \int_{0}^{\sin x} t^{2} dt$，要求我们求它的导数 $f'(x)$。

根据微积分基本定理，如果 $F(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt$，那么 $F'(x) = g(x)$。但这里的上限是 $\sin x$，而不是 $x$，所以需要应用链式法则。

设 $u = \sin x$，则 $f(x) = \int_{0}^{u} t^{2} dt$。根据链式法则，$f'(x) = \frac{d}{du} \left( \int_{0}^{u} t^{2} dt \right) \cdot \frac{du}{dx} = u^{2} \cdot \cos x = \sin^{2} x \cdot \cos x$。

因此，$f'(x) = \sin^{2} x \cdot \cos x$。